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《中公版·2018军队文职人员招聘考试专用辅导书：理工类数学2》

全书严格依据考试大纲编写，分为两篇：*篇高等数学，第二篇线性代数，涵盖了大纲要求的考点。在讲完考点之后，设置有对应该考点的考题再现和同步练习题。全书内容精炼，适合高效备考。

章函数与极限

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第二章一元函数微分学

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第三章一元函数积分学

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第四章多元函数微分学

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第五章多元函数积分学

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第六章常微分方程

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

章线性方程组

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第二章矩阵

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第三章行列式

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第四章向量空间

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第五章矩阵的相似化简

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案

第六章二次型

本章知识架构

考试大纲要求

基础知识详解

同步习题

同步习题参考答案中公教育·全国分部一览表

李永新，中公教育首席研究与辅导专家。毕业于北京大学政府管理学院，具有深厚的公务员考试核心理论专业背景，对中央国家机关和地方各级公务员招录考试有着博大精深的研究，极具丰富的公务员考试实战经验。主持并研发了引领公考领域行业标准的深度辅导教材系列和辅导课程、专项突破辅导教材和辅导课程，帮助无数考生成就了梦想，备受考生推崇，是公考辅导领域行业标准的开创者和引领者。

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　　理工类·数学2篇章函数与极限

　　章函数与极限

　　函数与极限部分主要测查应试者对数列极限、函数极限、无穷小（大）量、函数连续性的掌握程度。要求应试者理解函数、复合函数、分段函数、数列极限、函数极限（包括左极限与右极限）、无穷小量和无穷大量、函数连续性的概念，了解反函数、隐函数、初等函数的概念，了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，掌握基本初等函数的性质及其图形、极限的性质及四则运算法则、极限存在的两个准则、无穷小量的比较方法、闭区间上连续函数的性质，会利用两个重要极限和等价无穷小量求极限，会判别函数间断点的类型。

　　一、函数

　　（一）函数的概念及表示法

　　1.定义

　　设x与y是两个变量，D是实数集R的某个子集，若对于D中的每一个x，按照对应法则f，总有确定的值y与之对应，则称因变量y为自变量x的函数，记作y=f(x)。这里的D称为函数f的定义域，相应的函数值的全体所构成的集合称为函数f的值域。

　　（1）从概念上讲，函数实际上是一个映射，是两个实数集之间的对应法则，它包括两大要素：定义域和对应法则。

　　（2）两个函数相等的充要条件是定义域（自变量的取值范围）和对应法则（从自变量的值对应到因变量的值的方法）都相同。需要注意的是，函数和变量的选取是没有关系的，只要定义域和对应法则相同，不管用什么变量表示函数的自变量和因变量，函数都是一样的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一个函数。

　　（3）在没有特殊规定的情况下，函数的定义域就是使相关的运算有意义的范围，也称为函数的自然定义域。人为指定的定义域一定是自然定义域的子集。

　　常见函数的自然定义域如下：

　　y=x,x≥0;y=1x,x≠0

　　y=lnx,x>0;y=ex,x∈R

　　y=sinx,x∈R;y=cosx,x∈R

　　y=tanx,x≠π2+kπ;y=cotx,x≠kπ(k∈Z)

　　y=secx,x≠π2+kπ;y=cscx,x≠kπ(k∈Z)

　　y=arcsinx,x∈［－1,1］;y=arccosx,x∈［－1,1］

　　y=arctanx,x∈R

　　2.表示法

　　（1）解析法(公式法)

　　用数学式表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。

　　（2）表格法

　　将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。

　　（3）图形法

　　用坐标平面上的点集{P(x,y)|y=f(x),x∈D}来表示函数的方法即是图形法。

　　在图形法中，一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。

　　若f（x）=xkx2+2kx+2的定义域为（-∞，+∞），则数值k的取值范围是（）。

　　A.0≤k　　【答案】A

　　【解析】题干等价于kx2+2kx+2≠0恒成立。当k=0时，有2≠0；当k≠0时，Δ=（2k）2-8k　　函数y=1-x1-x2与函数y=1-x1+x（）。

　　A.定义域相同，值域相同B.定义域不同，值域不同

　　C.定义域相同，值域不同D.定义域不同，值域相同

　　【答案】B

　　【解析】函数y=1-x1-x2的定义域为-1

　　1.有界性

　　设函数f(x)的定义域为D，数集XD。如果存在正数M，使得对于任一x∈X，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)在X上有界。如果这样的M不存在，则称f(x)在X上无界。

　　（1）函数的有界性也可以通过上下界的方式来定义：如果存在实数m和M，使得对任一x∈X，都有m≤f(x)≤M，则称函数f(x)在X上有界。其中m和M分别称为函数f(x)在X上的下界和上界。要注意的是，函数在一个区间上有界的充要条件是函数在该区间上既有上界又有下界。

　　（2）有界性是函数在区间上的性质，同一个函数在不同区间上的有界性可能是不一样的。例如函数f(x)=1x在区间(0,1)上是无界的，在区间(1,+∞)上是有界的。

　　（3）常见的有界函数：y=sinx,y=cosx,y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx。

　　2.单调性

　　设函数f(x)的定义域为D，区间ID。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1

　　f(x1)

f(x2)），

　　则称函数f(x)在区间I上单调增加（或单调减少）。

　　在上述定义中，若把“”换成“≥”，则称函数f(x)在区间I上单调不增。

　　（1）单调性的性质：

　　①如果f1(x),f2(x)都是增函数（或减函数），则f1(x)+f2(x)也是增函数（或减函数）；

　　②设f(x)是增函数，如果常数C>0，则C·f(x)是增函数；如果常数C　　③如果函数y=f(u)与函数u=g(x)增减性相同，则函数y=f［g(x)］为增函数；如果函数y=f(u)与函数u=g(x)增减性相反，则函数y=f［g(x)］为减函数。（2）常见函数的单调增区间及单调减区间：

　　表111常见函数的单调区间

　　单调增区间单调减区间y=x2+ax+b［－a2,+∞)(－∞,－a2］y=ex(－∞,+∞)无y=lnx(0,+∞)无y=sinx［2kπ－π2,2kπ+π2］［2kπ+π2,2kπ+3π2］y=cosx［2kπ－π,2kπ］［2kπ,2kπ+π］y=1x无(－∞,0)和(0,+∞)3.奇偶性

　　设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任一x∈D，都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于任一x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数。

　　（1）奇偶性的性质：

　　①偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称；

　　②如果f1(x)和f2(x)都是偶函数（或奇函数），则对任意的常数k1,k2∈R，k1f1(x)+k2f2(x)仍是偶函数（或奇函数）；

　　③如果f1(x)和f2(x)的奇偶性相同，则f1(x)·f2(x)为偶函数；如果f1(x)和f2(x)的奇偶性相反，则f1(x)·f2(x)为奇函数。

　　（2）常见的偶函数：

　　y=xk（k为偶数），y=cosx，y=x，

　　f(x)、f(x)+f(－x)2、f(x)·f(－x)，其中f(x)是任意定义在对称区间上的函数。

　　常见的奇函数：

　　y=xk（k为奇数），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln(x+1+x2)，

　　f(x)－f(－x)2，其中f(x)是任意定义在对称区间上的函数。

　　4.周期性

　　设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对任一x∈D有x±T∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期。

　　一般周期函数的周期是指小正周期。

　　（1）周期性的性质：

　　①如果f(x)以T为小正周期，则对任意的非零常数C，C·f(x)仍然以T为小正周期，f(Cx)以TC为小正周期；

　　②如果f1(x)和f2(x)都以T为周期，则对于任意的常数k1,k2∈R，k1f1(x)+k2f2(x)仍然以T为周期。注意这时小正周期有可能缩小，如f1(x)=cos2x+sinx,f2(x)=sinx都以2π为小正周期，但f1(x)－f2(x)=cos2x以π为小正周期。

　　（2）常见的周期函数及其小正周期：

　　y=sinx,T=2π，y=cosx,T=2π，

　　y=tanx,T=π，y=cotx,T=π。

　　（三）函数的运算

　　1.四则运算

　　设函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，且D=D1∩D2≠，则这两个函数经过四则运算之后能形成新的函数：

　　和（差）运算：f(x)±g(x)，x∈D；

　　积运算：f(x)·g(x)，x∈D；

　　商运算：f(x)g(x)，x∈D＼{x|g(x)=0,x∈D}。

　　2.复合函数

　　设函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)的定义域为D2。如果g(x)的值域g(D2)包含于f(u)的定义域D1，则可以定义函数y=f［g(x)］，x∈D2为函数f(u)与g(x)的复合函数，记作y=f［g(x)］或fg。

　　（1）复合函数的基本思想是把y=f(x),x∈D1中的x进行推广，变成一个新的函数，这是我们认识和理解函数的基本方式。

　　（2）注意能够进行复合的前提条件是g(x)的值域g(D2)包含于f(u)的定义域D1。如果该条件不满足，只要g(x)的值域g(D2)和f(u)的定义域D1的交集不是空集，复合运算也可以进行，只不过此时复合之后的函数的定义域变成了{x|g(x)∈D1}。

　　3.反函数

　　设函数y=f(x)的定义域为D，其值域为f(D)。如果对于每一个y∈f(D)，都有确定的x∈D，使得f(x)=y（我们将该对应法则记作f－1），则这个定义在f(D)上的函数x=f－1(y)就称为函数y=f(x)的反函数，或称它们互为反函数。

　　（1）不是所有的函数都有反函数。函数y=f(x),x∈D存在反函数的充要条件是对于定义域D中任意两个不相等的自变量x1,x2，有f(x1)≠f(x2)。一般来说，单调的函数一定有反函数。

　　（2）在同一坐标平面上，函数y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图像关于直线y=x对称。

　　（四）常见的函数类型

　　1.初等函数

　　（1）基本初等函数

　　常用的基本初等函数有五类：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。

　　表112常用的基本初等函数

　　函数

　　名称函数的记号函数的图形函数的性质指数

　　函数y=ax（a>0，a≠1）a）不论x为何值，y总为正数;

　　b）当x=0时，y=1对数

　　函数y=logax（a>0，a≠1）a）其图形总位于y轴右侧，并过（1，0）点；

　　b）当a＞1时，在区间（0，1）的值为负；在区间（1，+∞）的值为正；在定义域内单调递增幂函数y=xa，a为任意实数

　　这里只画出部分函数图形的

　　象限部分。令a=m/n

　　a）当m为偶数n为奇数时，y是偶函数;

　　b）当m，n都是奇数时，y是奇函数;三角

　　函数y=sinx（正弦函数）

　　这里只写出了正弦函数a）正弦函数是以2π为周期的周期函数；

　　b）正弦函数是奇函数且sinx≤1续表

　　函数

　　名称函数的记号函数的图形函数的性质反三角

　　函数y=arcsinx（反正弦函数）

　　这里只写出了反正弦函数由于此对应法则确定了一个多值函数，因此将此值域限制在［-π2，π2］，并称其为反正弦函数的主值（2）初等函数

　　由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。

　　2.分段函数

　　（1）分段函数的基本形式

　　f（x）=f1（x），x∈I1，f2（x），x∈I2，fn（x），x∈In。

　　（2）隐含的分段函数

　　①值函数

　　f（x）=|x|=x，x≥0，-x，x＜0，

　　其定义域是（-∞，+∞），值域是［0，+∞）。

　　②符号函数

　　f（x）=sgnx=1，x＞0，0，x=0，-1，x＜0，

　　其定义域是（-∞，+∞），值域是三个点的集合{-1，0，1}。

　　③取整函数

　　f（x）=[x]表示不超过x的整数。

　　④值、小值函数

　　y=max{f（x），g（x）}；y=min{f（x），g（x）}。

　　3.隐函数

　　如果变量x和y满足方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x取区间I内的任一值时，相应地总有满足该方

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本书根据军队文职人员招聘专业考试科目考试大纲编写，全书体系健全，内容精简，每一章设有知识架构、考纲解读，帮助考生了解大纲中所有的考点及其内在联系。正文部分对大纲的考点进行解读，其中穿插近年的考试真题，并附有详细解析。每一章结束后都配有适当的练习题，帮助考生巩固所学。